Returns(수익률)

INTRO

수익률을 공부해야 하는 이유는 투자에 있어 프토플리오를 만들거나 관리 또는 배팅 크기 등을 정할 때 기반이 되기 때문이다.

Net Returns

$t$시점에 수익률은 $P_{t}$를 갖는다. 배당금이 없다고 가정할 때 $t-1$와 $t$사이의 순 이익률(Net Returns)는 아래와 같다.
$$R_{t} = \frac {P_{t}} {P_{t-1}} - 1 = \frac {P_{t} - P_{t-1}} {P_{t-1}}$$
위 공식에서 보다시피 $P_{t} - P_{t-1}$는 일일 수익(revenue)을 나타낸다. $R_{t}$을 통해서 수익을 어떻게 나타낼 수 있을까?
$$ revenue = initial investment \ * \ net retrun $$
이처럼 수익률은 다른 정보를 계산하는데 기반이 된다.

Gross Returns

Gross Return은 $t-1$와 $t$사이의 변화량을 의미한다.
$$\frac {P_{t}} {P_{t-1}} = 1 + R_{t}$$
Return이라는 것은 자산 단위에 결정되지 않고, 시점에 의하여 결정된다. 그리고 시점이 day만을 의미하지 않는다. month, year이 될 수도 있다. 이 시점의 단위를 unit이라는 말을 쓰지만, 딥러닝에서는 time inteval이라는 용어로 사용된ek.
그렇다면 $t-k$에서 $t$시점 까지의 수익률은 어떻게 될까? 이것을 재귀적으로 수식을 적용하여 구할 수 있다.
$$ \begin{matrix}
1+R_{t}(k) &=& \frac {P_{t}} {P_{t-1}} = (\frac {P_{t}} {P_{t-1}})(\frac {P_{t-1}} {P_{t-2}})(\frac {P_{t-2}} {P_{t-3}}) \cdots (\frac {P_{t-k+1}} {P_{t-k}}) \\
&=& (1+R_{t}) \cdots (1+R_{t-k+1})
\end{matrix}$$
위 공식에서 보듯이 k시점까지의 Gross Return을 곱하여 나타낸 것을 알 수 있다. 이것을 좀 더 일반화 하도록 증명해보자.

금융 수익률은 왜 복리일까?

채권에서 예를 들어 볼 때, n은 이자지급일이다. 그렇다면 $t_{1}$시점과 $t_{2}$의 이자는 어떻게 구할 수 있을까? 먼저 이자를 구하는 공식을 써보자. R은 이자율이고, P는 원금이다.
$$ V = (1+R)^nP $$
우리가 원하는 것은 이제 n을 m으로 나누어 특정 시점의 금액을 구하게 되면 아래와 같은 식이 된다. n에 m을 곱하게 된 이유는 이자를 주는 구간이 m번으로 나누어 지게 되면 받은 횟수는 m번 증가하기 때문이다.
$$ V = (1+\frac {R} {m})^{nm} P$$
그 다음에 m을 무한대로 쪼개서 모든 시점의 가격을 구해볼 것이다.
$$ \begin{matrix}
V &=& \lim_{m \to \infty}(1+\frac {R} {m})^{nm} P \\
&=& \lim_{m \to \infty}(1+\frac {R} {m})^{\frac {m} {R} Rn} P \\
&=& \exp^{Rn}P \\
\end{matrix}$$
이렇게 금융 자산 가치는 복리라는 것이 일반화 되었다.

Log Returns

Log를 쓰는 이유는 여러개가 있지만, 금융에서 쓰는 이유 중 하나는 복리(compounded)를 계산할 때 편하게 보기 위함일 것이다. 지수 함수의 역행렬은 로그함수로써 지수함수의 지수를 유리수로 표현 할 수 있기 때문이다.
$$ r_{t} = \log ( 1 + R_{t} ) = \log \frac {P_{t}} {P_{t-1}} = p_{t} - p_{t-1} $$

그렇다면 수익률을 log로 표현 한 값은 정확한 값일까? net return을 x라고 하고 log returns을 비교해 볼 때 아래 그림처럼 -0.1과 0.1사이에서는 오차가 거의 없는 것으로 보인다. 따라서 상황에 따라서 이 값은 유용하게 사용 될 수 있다.

위에서 Gross Return을 k구간을 구한 것처럼 구해보자!
$$ \begin{matrix}
r_{t}(k) &=& \log ({1+R_{t}(k)}) \\
&=& \log ({1+R_{t}(k)}) \cdots \log ({1+R_{t -k + 1}}) \\
&=& \log ({1+R_{t}}) + \cdots + \log ({1+R_{t -k + 1}}) \\
&=& r_{t} + r_{t-1} + \cdots r_{t-k+1}
\end{matrix}$$

Adjustments for Dividends (배당금을 포함한 수익률)

배당금을 포함한 수익률은 배당일에 배당금만 포함시켜 주면 된다.
$$\frac {P_{t} + D_{t}} {P_{t-1}} = 1 + R_{t}$$
따라서, Gross Returns

$$ \begin{matrix}
1+R_{t}(k) &=& (\frac {P_{t} + D_{t}} {P_{t-1}})(\frac {P_{t-1} + D_{t-1}} {P_{t-2}})(\frac {P_{t-2}+ D_{t-2}} {P_{t-3}}) \cdots (\frac {P_{t-k+1} + D_{t-k+1}} {P_{t-k}}) \\
&=& (1+R_{t}) \cdots (1+R_{t-k+1})
\end{matrix}$$
또, log Returns 아래와 같다.

$$ \begin{matrix}
r_{t}(k) &=& \log ({1+R_{t}(k)}) \\
&=& \log \frac {P_{t} + D_{t}} {P_{t-1}} + \cdots + \log \frac {P_{t} + D_{t-k+1}} {P_{t-k}}
\end{matrix}$$