Fixed income Securities

Introduction

모든 금융상품의 기본은 채권으로부터 시작된다. 이 채권이 어떻게 pricing되어지는지 확인해보자.

Zero-Coupon Bonds

Zero-Coupon Bonds는 한국어로 할인채라고도 불리며 이자율(interest rate) 대신에 할인율(discount rate)를 사용한다. 내가 10년뒤 100억의 할인채의 가격을 예상하여 보자.

예를 들어, 1000억 달러, 만기일은 20년 연 할인율이 6%인 채권의 가격은 현재 얼마일까?
$$\frac {$1000} {(1.06)^{20}} = $311.80$$
좀 더 일반화를 시켜 보자면,
$$\frac {priciple} {(rate)^{inteval}} = current price $$

그렇다면, 복리채인 경우는 어떻게 될까? 위에 똑같은 조건으로 6개월마다 coupon지급인 복리채를 계산해보자
$$\frac {$1000} {1.03^{40}} = 306.56$$

Price and Returns with the Interest Rate

위의 공식을 확장하여 이자율이 변할 때 어떻게 가격과 수익률이 달라지는지 확인해 보자. 위에서 말한 복리채의 가격은 $306.56$이다. 이자가 6%에서 7%까지 증가되었다고 가정하면 261.41$가 된다.

$$\frac {$1000} {{(1.035)}^{39}} = {$261.41}$$

즉 나는 ${$306.56} - {$261.41} = {$45.15}$ 를 손해보게 되는 것이다. 이율로 계산해보면 반년동안 손실률은 아래 공식과 같고 일년동안의 손실은 2배인 29.46%이다.
$$ \frac {-45.15} {306.56} = -14.73 \% $$

Coupon Bonds(이표채)

이표채의 가격은 어떻게 구할 수 있을까? 내가 채권을 사고 6개월이 된후에 이자를 받는다고 가정해보자. 이때의 채권에 대한 가격은 어떻게 될까?
$$ \frac {30} {(1.03)} + \frac {1000} {(1.03)} = 1000 $$
그렇다면 2번째 받을 쿠폰 금액까지 계산해 본다면?
$$ \frac {30} {(1.03)} + \frac {30} {{(1.03)}^2} + \frac {1000} {{(1.03)}^2} = 1000$$
이렇게 계산식을 해보면 아래와 같이 일반화 시킬 수 있다.
$$ \sum_{t=1}^{40} {\frac {30} {{(1.03)}^t}} + \frac {1000} {{(1.03)}^{40}} = 1000$$

6개월 후에 Coupon을 한번 지급 받았다면 채권 가격은 아래와 같다.
$$ \sum_{t=0}^{39} {\frac {30} {{1.03}^t}} + \frac {1000} {{(1.03)}^{39}} = (1.03)(\sum_{t=1}^{40} {\frac {30} {{(1.03)}^t}} + \frac {1000} {{1.03}^{40}}) = 1030$$

이자 변동에 대해서 수익률은 어떻게 될 것인가?
7%일 경우
$$ \sum_{t=0}^{39} {\frac {30} {{(1.035)}^t}} + \frac {1000} {{(1.035)}^{39}} = (1.035)(\sum_{t=1}^{40} {\frac {30} {{(1.035)}^t}} + \frac {1000} {{1.035}^{40}}) = 924.49$$
손실률은
$$ 2 (\frac {924.49 - 1000} {1000}) = -15.4 \% $$

5%일 경우
$$ \sum_{t=0}^{39} {\frac {30} {{(1.025)}^t}} + \frac {1000} {{(1.025)}^{39}} = (1.025)(\sum_{t=1}^{40} {\frac {30} {{(1.025)}^t}} + \frac {1000} {{1.035}^{40}}) = 1153.70$$
이익률은
$$ 2 (\frac {1153.70 - 1000} {1000}) = 30.72 \% $$

공식을 다른 형태로 바꿔 보자!
다음번에 나올 Yield To Maturity에 사용되어 현재 채권 가격과 이자율을 가지고 만기일의 수익률을 볼 수 있게 해준다.
$$ \begin{matrix}
\sum_{t=1}^{2T} \frac {C} {(1+r)^2T} &=& \frac {C} {r} \{1-(1+r)^{-2T}\}+\frac{PAR} {(1+r)}^{2T} \\
&=& \frac {C} {r} \{PAR - \frac {C} {r} \}+{(1+r)}^{-2T}
\end{matrix} $$

Yield to Maturity

Yield라는 것은 내가 투자한 대비 이자 수익률을 보고자 하는 것이다. 원금 1000달러, 6개월 주기의 40달러주고 만기일은 30년인 이표채가 있다고 가정해보자. 이것을 발행일에 산 것이 아니라 중간에 사서 1200달러에 구매했다고 가정해보자.
그렇다면, 내가 산 yield는 아래와 같다.
$$ \frac {40} {1200} = 3.333 \% $$
연이율은 6.67%가 정도가 될 것인데, 이것을 만기때까지 계산하는 것은 옳은 방법이 아니다. 왜냐하면 실제로 만기때 돌려받을 원금 1200달러가 아니라 1000달러이기 때문에 이것에 대한 손실을 반영하지 못하여 과대평가 된 것이다.

Yield to Maturity는 이것을 계산하여 만기때까지의 yield를 볼 수 있도록 해준다. 위에서 확장된 공식을 가져와 보자.
$$ \sum_{t=1}^{2T} \frac {C} {(1+r)^2T} = \frac {C} {r} \{PAR - \frac {C} {r} \}+{(1+r)}^{-2T} $$
그리고 위에 가정한 매입가 1200달러, 쿠폰 40달러 주기 30년(반년마다라서 60)을 대입해보고 공식을 다시 써보면
$$ 1200 = \frac {40} {r} \{1000 - \frac {40} {r} \}+{(1+r)}^{-60} $$
아래 그래프는 12000(price)에 따라 r이 어떻게 바뀌는지 그래프로 나타낸 것이다.

이 그래프를 보면 알 수 있듯이 실제 이자율은 6.67이 아니라 6.48이라는 것을 알 수 있다.