Introduction : A Simple Market Model

1.1 Basic Notions and Assumptions

2가지 자산을 트레이드한다고 가정하자. 하나는 risk-free이고 다른 하나는 risky security이다. risk-free는 은행 예치금이나 정부, 공공금융기관 또는 회사에서 발행한 채권이다. risk recurity는 형식적으로 어떤 주식이 될 것이다. 미래가격이 현재에 정해지지 않은 외화, 금, 상품이나 무형자산을 말한다.
지금 indroduction에서는 시간 크기를 2가지로 오늘은 t = 0, 미래의 어떤 시점, t = 1 나눈다. 더 정제되고 실제적인 상황은 나중 챕터에서 다르게 될 것이다.
risky securities에서 투자자들이 가지고 있는 주식 점우율의 수로 명시되어 질 수 있다. 어떤 시점의 한 주의 가격을 S(t)라고 정의한다. 그 현재 주식 가격은 투자자들에게 S(0)라고 알려져 있지만, 미래에는 S(1)으로 불특정하게 남아있다. S(1)가격이 올라 갈 수 있을 뿐아니라 내려갈 수도 있다. S(1) - S(0)를 초기값(S(0))로 나눈 것은 rate of return, 또는 return 이라고 부른다.

$$ K_{s} = \frac {S(1) - S(0)} {S(0)} $$
return도 불특정하다고 말할 수 있다.(S(1)이 불특정하기 때문). 주식의 유동성(dynamics)은 Chapter3에서 설명될 것이다.
risk-free는 은행계좌에 있는 양으로 설명되어 질 수 있다. 은행에서 돈을 유지하는 대안책으로 투자자들은 선택하여 채권에 투자할 수 있다. 어떤 시점의 한 채권의 가격을 A(t)라고 정의한다. 현재의 채권 가격은 A(0)이며 A(t)어떤 시점의 채권의 가격이지만 주식과는 다르게 특정한 가격이 있다.

$$ K_{A} = \frac {A(1) - A(0)} {A(0)} $$
Chapter 2, 10와 11에서 risk-free 자산들의 상세한 기대값에 대해 다룰 것이다.
지금 해야 할 것은 financial security 시장의 수학적인 모델을 만드는 것이다. 중요한 첫번째 스테이지는 연관된 수학적인 객체의 자산과 연괸돠어 진다. 이것은 많은 Assumptions과 실제 세계에서 복잡성과 추적가능하게 하기위한 수학적 모델의 한계와 명료성 사이의 타협을 찾는 목적을 명세함으로 행해진다. 아래 가정들은 현재 이 타협들로 인한 위치를 반영하지만 미래에 수정될 수 있을 것이다.

Assumption 1.1 (Randomness)

미래 주식가격 S(1)은 적어도 2가지 이상의 다른 값을 가지는 난수이다. 미래의 가격 A(1)은 숫자로 알려져 있다.

Assumption 1.2 (Positivity of Prices)

모든 주식과 채권 가격은 엄격하게 양수이다.
$$ A(t) \ > \ 0 \ \ and\ \ S(t)\ >\ 0\ \ for\ t=0,1 $$
주식을 x개 채권은 y개 가지고 있다면 투자자의 총액은 아래와 같다.
$$ V(t)\ =\ xS(t)\ +\ yA(t). $$
이 쌍(x,y)를 포트폴리오라고 부른다. V(t)를 이 포트폴리오의 값어치라고 부르며 다른 말로는 t기점에 투자자들의 wealth라고 부른다.
0과 1사이의 가격의 차이는 포트폴리오 값어치 변화를 일으킨다.
$$ V(1)-V(0)\ =\ x(S(1) - S(0)) + y(A(1) - A(0)). $$
이 값을 초기값(V(0))로 나눈 것은 포트폴리오 return이라고 부른다.
$$ K_{t}\ =\ \frac {V(1) - V(0)} {V(0)}. $$
채권이나 주식의 return들은 x = 0일때, y = 0일 때의 특수한 케이스가 된다. S(1)은 난수 이기 때문에 Kv는 Ks에 따라 V(1)이 달라진다. 반면에 KA는 결정적이다.(deterministic)

Assumption 1.3 (Divisibility, Liquidity and Short Selling)

어떤 투자자는 주식과 채권의 어떤 x,y를 가지고 있을 수 있다.
$$ x,y \ \in\ R$$
채권이나 주식을 소수로 가지고 있다는 사실이 divisibility 로 언급된다. 거의 모든 완벽한 divisibility는 언제든지 거래량이 큰 단위 가격을 비교하는 실제 세계에서 얻어진다. x또는 y에 한정된 범위가 없다는 사실은 liquidity라는 마켓의 또다른 속성과 연관되어 진다. 이것은 어떤 자산이 임의의 양이 주식 시장에 요구에 따라 매매되어지는 것을 의미한다. 이것은 거래량의 제한이 존재하기 때문에 명백하게 수학적인 이상이다.
만약 포트폴리오의 securities의 수가 양수라면 투자자들이 long position 을 가지고 있다고 말한다. 반대라면 short position 을 얻었다 또는 그 자산은 shorted 하다고 말한다. risk-free securities에서 short position은 채권을 팔거나 발행하는 것은 포함하지만 실제적으로 제정적 영향은 돈을 빌리거나, 채권가격의 이자율에 따라 쉽게 성취된다. 이자에 대한 대금을 값는 것은 short position을 closing한다고 일컬어 진다. 주식에서 short position은 short selling에 의해 현실화되어 질 수 있다. 투자자들이 주식을 빌리고 이것을 팔고 그리고 다른 투자를 진행하기위해 사용한다는 것을 의미한다. 주식의 owner은 모든 권리를 가지고 있다. 특히, 만기가 되면 배당을 받을 권리가 있고 특정 시간에 주식을 팔수도 있다. 이 때문에 투자자는 결과적 의무를 수행하며 위험자산의 short position을 close할 충분한 자원(주식을 재구매하거나 owner에게 되돌려 줄)을 가지고 있어야 한다. 유사하게 이자에 대한 현금 대금을 갚음으로써 투자자는 항상 risk-free securities에 short position을 close할 수 있어야합니다. 이 관점에서 우리들은 몇가지 제한을 부과한다.

Assumption 1.4 (Solvency)

투자자의 wealth는 항상(모든 time) 음수(non-negative)가 아니여야한다.
$$ V(t)\ >= \ 0 \ for\ t = 0,1 $$
이런 포트폴리오를 admissible하다라고 한다.
실제 세계에서 수 많은 여러가지 다른 가격은 10진수로 표현되고 모든 가격이 상한선으로 공급되어 한정된 양만 존재하기 때문에 유한하다.

Assumption 1.5 (Discrete Unit Prices)

미래의 S(1)의 가격은 유한한 많은 값들을 취하는 난수이다.