Introduction: A Simple Market Model (4)

1.6 Call and Put Options

\( A(0) = 100, A(1) = 100, S(0) = 100 \)달러고
$$ S(1) = \cases { \rm 120\ \ with\ \ probability\ \ p, \cr \rm 60\ \ \ with\ \ probability\ \ 1-p} $$
이다.
Call Option은 time 1에 100$(즉, S(0), strike price or exercise price)의 가격으로 주식을 살 권리를 준다. 만약 strike price보다 떨어진다면, 이 옵션을 쓸모없게 된다. 만약 market price가 80$가 된다면, 누구도 이 권리를 수행하고 싶지 않을 것이다. 하지만, 주가가 120$보다 높아진다면, 100$에 사서 120$로 팔 수 있는 권리를 얻게 된다. 이것을 option을 수행한다고 알려져 있다. 이 옵션은 단순히 strike price와 market의 가격을 뺀 20달러만큼 수익을 얻는다. 따라서 시간이 1일 때 변수는
$$ C(1) = \cases { \rm 20\ if\ stock\ goes\ up, \cr \rm \ 0\ if\ stock\ goes\ down } $$
반면에 \(C(0) \) 시간 0에서 옵션의 가격을 가르킨다.

Remark 1.1

long forward position과 call option은 많이 닮아있다. 하지만, long forward position은 자산을 사야하지만 call option은 권리를 사서 꼭 행사할 필요는 없다. 또 다른 차이점은 콜 옵션을 구매하기 위해 투자자가 지불해야하는 반면, 선물환 계약을 교환 할 때는 지불 할 것이 없다는 것이다.
옵션이 있는 마켓에서 포트폴리오(x,y,z)는 주식, 채권, 옵션을 가르킨다. 0시점에서 포트폴리오는 아래와 같다.
$$ V(0) = xS(0) + yA(0) + zC(0) $$
1시점에서 포트폴리오는 아래와 같은 가치를 가진다.
$$ V(1) = xS(1) + yA(1) + zC(1) $$
forward contract를 포함하는 포트폴리오처럼 Assumptions 1.1에서 1.5와 No-Arbitrage Principle를 주식, 채권, 옵션으로 확장시킬수 있다.
우리들의 목표는 arbirage의 기회의 부재를 가진 마켓에서 assumption들과 동등한 call option가격 C(0)를 찾는 것이다. call option의 holder들은 강요가 전혀 없는 특정한 권리를 가지기 때문에, \( C(0) \)가 긍정적이라고 기대하는 것이 합리적이며 이 권리를 행사할 premium을 지불할 필요가 있다. 우리는 2가지 스텝으로 C(0)를 찾을 것이다.

Step 1

1시점에서 투자의 가치는 옵션과 같으므로 주식이 상승하던 감소하던 상관없이 주식 x와 채권 y로 투자를 설계한다.
$$ xS(1) + yA(1) = C(1) $$
이것은 옵션을 모사하는 것으로 알려져 있다.

Step 2

0시점에서의 채권과 주식의 투자의 가치를 계산한다.