Introduction: A Simple Market Model (3)

1.4 Risk And Return

A(0) = 100, A(1) = 110이라고 하자. 그러나 S(0) = 80 달러이며
$$ S(1) = \cases { \rm 100\ \ with\ \ probability\ \ 0.8, \cr \rm 60\ \ \ with\ \ probability\ \ 0.2} $$
포트폴리오에 10000달러는 투자한다고 가정하자. x = 50만큼 사고, y = 60으로 고정하여 산다. 그렇다면
$$ V(0) = \cases { \rm 11,600\ \ \ \ \ if\ \ goes\ \ up, \cr \rm 9,600\ \ if\ \ goes\ \ down. } $$
일때,
$$ K_{A} = \cases { \rm 0.16\ \ \ \ \ if\ \ goes\ \ up, \cr \rm -0.04\ \ if\ \ goes\ \ down. } $$
수학적 관점에서 기대 return 값은 아래의 수식과 같다. 위와 같은 예시는 12%의 return 기대값을 갖는다.
$$ E(K_{A}) = 0.16\times0.8-0.04\times0.2=0.12 $$
이 투자의 risk는 표준편차는 아래와 같이 정의된다. 즉 8%이다.
$$ \alpha_{V} = \sqrt{(0.16-0.12)^{2}\times0.8+(-0.04-0.12)^{2}\times0.2} = 0.08 $$
이제 이 투자에서 한 타입의 security에 대하여 비교해 보자.
만약 x = 0이고 y = 100이라면 즉, 전체양이 risk-free로 투자되었다면, \(K_{A} = 0.1$,\ 10% \)이고 risk 표준편자는 \(alpha_{A}=0 \)이 될것이다. 반면에 x = 125이고 y = 0이라면, 주식의 전체 투자량은 아래와 같으므로 \(E(K_{S}) = 0.15,\ \ \alpha_{S} = 0.2 \)가 된다.
$$V(1) = \cases {\rm 12,500\ \ \ if\ \ goes\ \ up, \cr \rm \ \ 7,500\ \ \ if\ \ goes\ \ down} $$
같은 return 기대값가진 포트폴리오 두개 중 하나를 선택하라고 한다면 어떤 투자자든지 risk가 낮은 쪽을 선호할 것이다. 유사하게 risk의 레벨이 같다면 return 기대값이 큰 쪽이 선호하게 될것이다. 하지만, 대게 경우에는 high risk high return이다. 이러한 환경속에서 개인의 선호에 따라 선택이 달라질 수 있다. 이 이슈에 대해서는 Chapter 5에서 다뤄질 것이다.

1.5 Forwards Contracts

forwards contracts는 명시된 미래가격에서 risky자산에 대해서 파거나 살 권리를 협정하는 것이다. 이것은 현재 가격에 고정된 F에서 delivery rate 또는 forward price 불린다. 자산을 사기를 동의하는 투자자는 a long forwrad contract 에 참가하였다고 하거나 a long forward position 을 얻었다고 말한다. 반대로 투자자들이 자산을 팔기로 한다면 a short forward contract 또는 a short forward position 이라고 부른다. forward contract를 교환할 때는 돈을 지불하지 않는다.

Example 1.5

forward price가 80$이고 마켓 자산이 delivery rate가 84$가 될 것이라면, a long forward position의 holder는 80$에 사고 84$가 되는 즉시 팔것이다. 차액인 4$를 현금화 시킬 수 있다. 반면에, short forward position을 가지고 있는 집단이 80$에 판다면 4달러는 손해 보지만 만약 delivery rate가 75$가 된다면 5$를 이득본 것이다. 그러므로 한 집단의 이득은 다른 집단의 손해가 된다.
만약 delivery date 1인 a long forward position을 가지는 집단은 S(1)이 F라는 가격으로 오른다면 이익을 보게 될 것이다. 반면에 S(1)이 F라는 가격으로 떨어진다면 손해를 본다. a long forward position은 \(S(1) - F \)만큼 지불액을 가지고 a short forward position은 \(F - S(1) \)만큼 가진다.
주식과 채권이외의 forward contract를 투자자가 가지고 있는 포트폴리오는 (x,y,x)로 설명되어지는 케이스인 forward contract를 가지고 있다. 여기에서 x,y는 각각 주식과 채권의 수를 이야기 하고, z는 forward contract의 수 이다. delivery date가 되기전에 포트폴리오의 초기값은 \(V(0) = xS(0) + yA(0)\) 가 되지만, delivery date가 되었을 땐 \(V(t) = xS(t) + yA(t) + z(S(t) - F)\)가 된다. No-arbitrage Principle과 Assumption 1.1 ~ 1.5덕에 이 경우를 쉽게 확장시킬 수 있다.
forward price F는 No-Arbitrage Principle에 의해 결정된다. 특히, carrying cost없이 자산을 쉽게 만들 수 있다. 이러한 유형의 자산 예로는 배당금이 없는 주식이다. ( 반면에, 상품은 보통 재고 유지 비용이 들고, 외환은 이자가 든다. 이러한 것들을 부정적 carrying cost라고 한다.)
Forward Position은 delivery에 forward price F가격으로 사기로 보증된다. 대체적으로 이 자산은 delivery때까지 보유된다. 하지만 초기 자금이 0원이라면, 대금을 빌려야하므로 forward price의 후보자(candidate)가 된다. 이 가설은 아래에서 보여준다.

Proposition 1.2

\(A(0) = 100$,\ A(1) = 110$,\ S(0) = 50$ \)이고 S(0)는 carrying price포함하지 않다고 가정하고 F = 55라고 하겠다. 그렇지 않으면 arbirage opportunity가 발생하게 될것이다.

Proof

0시점에서 \(F > 55 \)라고 가정한다.

• 50$를 빌린다.
• S(0) = 50에 산다.
• delivery date(1)에서 a short forward contract에 들어가게 된다.
  이 포트폴리오 결과\( 1, -\frac 1 2, -1) \)는 stock, a risk-free position, a short forward contract이고 \( V(0) = 0 \)을 가지게 된다.
  그 다음에 Time 1에서
• F달러를 가진 자산을 판다.
• risk-free position을 closing한다.
  그렇다면 이 포트폴리오의 마지막 결과는 \(V(1) = F - 55 > 0 \) No-Arbitrage Principle를 위반하게 되고 Arbitrage 이익을 얻게 된다.
  반면에, if \(F < 55 \)이고 time이 0일 때,
• $50에 대한 자산을 판다.
• 이 양 만큼(50$) risk-free 자산을 산다.
  그렇다면 이 포트폴리오는 \(( -1, \frac 1 2, 1) \)이며 \(V(0) = 0 \)이다. 결과적으로 time 1에서
• risk-free투자인 55$를 현금화시킨다.
• F달러 자산을 산다.
  너의 차익거래 이익은 \( V(1) = 55 - F > 0 \)이다.