Introduction: A Simple Market Model(2)

1.2 No-Arbitage Principle

이 섹션에서 마켓에 대한 가장 근본적인 가정에 대해서 말할 것이다. 간략하게 초기투자금액이 없는 risk-free profits는 존재하지 않는다.
예를 들어 뉴욕의 딜러 A가 영국 파운드를 파운드당 $d_{A}=1.62$의 비율로 판다. 하지만 딜러B가 이 파운드를 $d_{B}=1.60$ 에 판다고 하면 $d_{A} - d_{B} = 0.02$차이가 생기게된다. 초기자본금이 없는 투자자는 이 차액만큼 이익을 얻을 수 있으며 딜러B에게는 short position이 딜러A에게는 long position이 동시에 발생하게 된다. 이럴 경우 환율을 조정하게 하여 이러한 기회를 없애버린다.
이러한 차이를 금지하는 것을 가정해야만 한다.

Assuption 1.6 (No-Arbitage Principle)

이 것은 0이 아닌 확률로 $V(1) > 0$이 되도록 하는 $V(0) = 0$이 초깃값인 admissible 포트폴리오가 없다.
다시 말해 admissible 포트폴리오의 초깃값이 0이라면 V(0) = 0이라면 1의 확률로 V(1) = 0인 것을 의미합니다. 이것은 어떤 투자자도 초기 자본금을 받지 않고 위험없이 수익을 창출 할 수 없다는 것을 의미합니다. 만약 이 원리를 위반하는 포트폴리오가 있다면, arbitrage 기회가 있다라는 것을 뜻합니다. 현실에서 arbitrage는 거의 나타나지 않습니다. 만약 나타난다면 거량에 비해 얻을 수 있는 이익은 매우 적어 소액투자자들이 손을 벗어나게 만듭니다. 게다가, No-Arbitage Principle이 위반된 상황은 일반적으로 짧고 발견하기가 어렵습니다.
수학적 모델에서 arbitrage의 결론은 현실과 매우 가깝고 가장 중요하고 결실을 맺는 가정이 됩니다. 이 원리에 기반한 인자들은 금융 수학에 주요한 툴이 됩니다.

1.3 One-Step Binomial Model

이 섹션에서 S(1)이 단순히 2개의 주식 가치를 가지는 단순한 예를 들어볼 것이다. 단순하지만 나중에 더 발전될 이론의 풍미를 나르기에 충분히 흥미로울 것이다.

Example 1.4

S(0)를 100달러고 S(1)은 2개의 값을 취한다고 가정하자! $$ S(1)\ =\ {125\ with\ probability\ p, \atopwithdelims { } 105\ with\ probability\ 1-p} $$
채권 가격 A(0)는 100달러이고 A(1)은 110달러이다. 그러므로 만약 상승한다면 주식가격 $ K_{S} $ 의 return은 25%가 될 것이고 내려간다면 5%가 될 것이다. risk-free return은 10%가 될 것이다.
일반적으로 binomial model에서 채권가격과ㅏ 주식의 선택은 No-Arbitrage Principle로 제약되어진다. 타임 1에서 오르거나 내린 주식가격이라고 가정하자
$$ S(1) = {S^{u}\ with\ probability\ p, \abovewithdelims { }\ S^{d} with\ probability\ 1-p} $$
$$ S^{d} < S^{u}\ \ and\ \ 0 < p < 1 $$

Proposition 1.1

만약 S(0) = A(0) 라면
$$ S^{d} < A(1) < S{u} $$
이거나 arbitrage 기회가 일어날 것이다.

Proof

S(0) = A(0) = 100일때는 고려해보자. A(1) <= $ S^{d} $라고 가정하자. 이 경우에 시간이 0일 때,
Borrow $100 risk-free
Buy one share of stock for $100
즉, x = 1이고 y = -1인 포트폴리오(x,y)를 잡을 것이다. $$V(0) = 0 $$
시간이 1일때 그 값어치는 아래와 같다.
$$ V(1) = {S^{u} - A(1)\ if\ stock\ goes\ up,\abovewithdelims { }\ S^{d}-A(1)\ if\ stock\ goes\ down} $$
만약 A(1) <= $S^{d}$라면 2가지 가능성중 첫번째는 분명히 양수면서 다른 것도 음수가 아니다. 즉 p > 0로 V(1) > 0이 되도록하는 V(1)은 음수가 아닌 난수이다. 따라서 No-Arbitrage Principle을 위하면서 arbitrage 기회를 제공하는 포트폴리오가 된다.
반대의 경우도 같다.

위의 논증은 일반적으로 직관적이다 : 싼 자산은 사고 비싼 자산은 파는 것이다.